Como aquí hay muchos "matemáticos", seguro que alguien sabe la respuesta ;)
Problema:
Tengo un tablero con 30 casillas numeradas del 1 al 30.
Tengo 30 fichas en una bolsa numeradas del 1 al 30.
Voy sacando fichas de la bolsa, al azar, y las coloco en el tablero: la primera ficha que saco en la casilla 1, la siguiente en la 2, etc.
Pregunta:
¿Cuál es la probabilidad de que al poner las 30 fichas NINGUNA de ellas coincida con el número de la casilla? Es decir, que en la casilla 1 no esté la ficha 1, ni en la 2 esté la 2, etc.
Tengo la sensación de que la probabilidad es pequeña, pero no sé si es tipo 1/100 ó 1/1000000 ...
PS: Premio especial para el que averigüe por qué me ha surgido esta pregunta ;)
Optando al premio especial yo diria algo que ver con los casinos, algun juego de dados o apuestas asi?
Sobre la posibilidad por decirlo a voleo diria que es de: 30 entre 30x30elevado a 30. Seguro que no pero ya puestos digo una burrada XD
CitarOptando al premio especial yo diria algo que ver con los casinos, algun juego de dados o apuestas asi?
Frío frío :P
Desgraciadamente es un tema menos divertido :( Si ves hoy las noticias, seguro que hablan de ello...
CitarSobre la posibilidad por decirlo a voleo diria que es de: 30 entre 30x30elevado a 30. Seguro que no pero ya puestos digo una burrada XD
Aceptamos burrada :D
¿Alguien con más idea de probabilística que nosotros dos ::)?
Si no recuerdo mal, sería 30 / 30! es decir, 30 / 30 * 29 * 28 * 27 * ... * 1 El resultado estaría entre 0 y 1
El primer 30 sería el tablero y el segundo 30 (el del factorial) sería el número de fichas que tienes en la bolsa. Me parece que el problema es similar a poner en cada posición del tablero una ficha concreta.
Insisto en el "si no recuerdo mal". :D
Todos los casos 30!
Casos favorables:
29 posibilidades para la primera casilla por
28 posibilidades para la segunda por
...
1 para la anteultima por
1 para la ultima (no tenes otro lado donde ponerla, que barbaro como encaja la definicion de factorial che :P)
= 29!
Probabilidad = Casos favorables sobre casos totales = 29! / 30!
EDIT: para el que no lo vea 29!/30! = 1/30
Je, entre la respuesta de Pogacha y la de los demás hay varios órdenes de diferencia :P. Pero me fío de Pogacha que, si no me equivoco, ganaste un premio de matemáticas o algo así ahí por Argentina, ¿no? 8)
Bueno, pues la verdad es que me ha sorprendido. Una probabilidad de 1/30 es 3.3%, así que no muy baja. Yo pensaba que sería del orden del 1 por mil ::)
Para el que tenga curiosidad, y ya he dicho que no es un tema especialmente divertido, pero el motivo de mi duda tiene que ver con lo de la identificación de los cadáveres del YAK42 (http://es.wikipedia.org/wiki/Accidente_del_Yak-42_en_Turqu%C3%ADa para el que viva fuera de España o dentro de una cueva :P). Se supone que 30 de los 62 cadáveres se "identificaron" al azar y no acertaron ni uno. Bueno, el juicio sigue en marcha, así que tampoco es definitivo eso de que se hiciese al azar. Y lo de que no acertaron ninguno tampoco lo tengo nada claro, porque son simplemente comentarios de tertulianos, así que no muy de fiar. La cuestión es que a mí me resultaba muy improbable eso de que haciéndolo al azar no acertaran ni uno. Y efectívamente lo es, sigo sin fiarme, pero menos improbable de lo que pensaba...
Hale, ya está el tostón de la explicación.
Gracias a todos :)
Joder si que iba yo bien encaminado XDD
Cita de: tewe76 en 27 de Marzo de 2009, 04:31:58 PM
Je, entre la respuesta de Pogacha y la de los demás hay varios órdenes de diferencia :P. Pero me fío de Pogacha que, si no me equivoco, ganaste un premio de matemáticas o algo así ahí por Argentina, ¿no? 8)
Pues no deberias!!
Yo te deje el razonamiento para que lo vieras vos mismo y encontraras el resultado pero al parecer esta mal mi razonamiento :(
para la primera tengo 1 en 29 pero para la segunda puede que sean 28 posibilidades o 29 dependiendo si la primera se coloco en el lugar de la segunda y asi.
O sea ese razonamiento no sirve.
AAAAAAAAARRRRRGGGGGGGGHHHHHHH!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!111!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :grrr:
:P
Vaya, pues tan complicado no puede ser, ¿no? Es una situación bastante "normal". ¿Alguna sugerencia más?
29! / (30^30)
sync
Citar29! / (30^30)
Si no me he equivocado con la calculadora de Windows, eso es: 4,2943869917015695512169982316036e-14, o sea, 0.00000000000004.
Pues menuda diferencia ::) Oh... dios.... y ahora... ¿en quién confío yo? :P
Cita de: synchrnzr en 27 de Marzo de 2009, 07:48:48 PM
29! / (30^30)
sync
Me inclino más por 29!/30!, ya que cada vez quedan menos fichas.
Cita de: synchrnzr en 27 de Marzo de 2009, 07:48:48 PM
29! / (30^30)
sync
No seas vago y pon el razonamiento ;P
Aunque aún me estoy planteando cómo resolver el tema de que la última ficha tenga probabilidad 1.
Después de comer le doy otra vuelta.
Creo que la respuesta de Pogacha es la más acertada, la menor probabilidad de que ninguna de las fichas coincida con su casilla es 1 entre 30, las otras probabilidades serían mayores.
Siguiendo el razonamiento de Pogacha, para la primera casilla tienes 1 entre 30 probabilidades de que coincida, luego tienes 29 entre 30 de que no coincida, para la segunda tienes 28 de 29 de que no coincida siempre y cuando no saliera la ficha 2 en la primera casilla, pero si salió tendrás 29 probabilidades de entre 29 de que no coincida y así sucesivamente, luego:
Caso más desfavorable 29!/30! => 1/30
Caso más favorable 29! x 29 / 30! = 29/30
a) 1 Ficha
1
P(ninguna en su sitio) = 0 / 1
b) 2 Fichas
12 21*
P(...) = 1 / 2
c) 3 Fichas
123 132 213 231* 312* 321
P (...) = 2 / 6
d) 4 Fichas
1234 1243 1324 1342 1423 1432
2134 2143* 2314 2341* 2413* 2431
3124 3142* 3214 3241 3412* 3421*
4123* 4132 4213 4231 4312* 4321*
P (...) = 9 / 24
etc...
aunque exacto me encantaría ver tu método para 30 fichas :D
PD 30 fichas se pueden ordenar de 30! maneras distintas o sea aproximadamente de 2.7 * 10 ^32
Aunque el razonamiento de pochaga es el más cercano tal como dice tiene un error, así que la probabilidad es mayor de 1/30.
P 1 ] : 0 [0/1]
P 2 ] : 0.5 [1/2]
P 3 ] : 0.333333 [2/6]
P 4 ] : 0.375 [9/24]
P 5 ] : 0.366667 [44/120]
P 6 ] : 0.368056 [265/720]
P 7 ] : 0.367857 [1854/5040]
P 8 ] : 0.367882 [14833/40320]
P 9 ] : 0.367879 [133496/362880]
P 10 ] : 0.367879 [1334961/3628800]
P 11 ] : 0.367879 [14684570/39916800]
P 12 ] : 0.367879 [176214841/479001600]
Hasta aquí he llegado, que me he cansado de calcular.
con la excelente aproximación de Warchief queda acotado el resultado. Sólo agregar otro razonamiento que al igual que el método de Juan Mellado es correcto (o creo que lo es) pero en la practica para 30 fichas es inviable de hacerlo.
La probabilidad de que no tener ninguna ficha es el complemento a tener a lo menos 1.
La probabilidad de tener a lo menos 1 ficha correcta en 2 espacios es:
P = P(que la ficha uno este en la casilla 1) + P(que la ficha dos este en la casilla2) - probabilidad de la intersección de ambas.
La probabilidad de tener a lo menos 1 ficha correcta en 3 espacios es
P = P1 + P2 + P3 - (P1 Inter P2) -(p1 inter P3) - (P2 inter P3) + (P1 inter P2 inter P3)
y así sucesivamente, imaginense el "chorizo" que queda al aplicarlo a 30 eventos.
esto se debe a que la probabilidad de tener la ficha 1 en la posición 1 no es mutuamente excluyente con la probabilidad de tener la ficha 2 en la posición 2 y al sumar ambas probabilidad se debe restar su intersección.
Cita de: Warchief en 27 de Marzo de 2009, 08:34:40 PM
Cita de: synchrnzr en 27 de Marzo de 2009, 07:48:48 PM
29! / (30^30)
sync
Me inclino más por 29!/30!, ya que cada vez quedan menos fichas.
Es verdad, no contaba que cada vez queda una ficha menos :-[
Entonces hay que tener en cuenta las probabilidades condicionadas como sugieren HaversterOfAcorns, Juan Mellado y Hechelion. Lo que no sé si se puede llegar a escribir eso de una forma "elegante" ???
sync
P(n) = D(n) / n!
D(1) = 0
D(2) = 1 = (2 * 0) + 1 = (2 * D(1) ) + 1
D(3) = 2 = (3 * 1) - 1 = (3 * D(2) ) - 1
D(4) = 9 = (4 * 2) + 1 = (4 * D(3) ) + 1
D(5) = 44 = (5 * 9) - 1 = (5 * D(4) ) - 1
D(6) = 265 = (6 * 44) + 1 = (6 * D(5) ) + 1
D(7) = 1854 = (7 * 265) - 1 = (7 * D(6) ) - 1
D(8) = 14833 = (8 * 1854) + 1 = (8 * D(7) ) + 1
...
D(n) = (n * D(n - 1) ) + cos(n * PI), n > 1
#######
P(30) = 0.3678794411714424
CitarP(30) = 0.3678794411714424
¿Entiendo que la probabilidad es del 36%? Oo No parece coherente, ¿no? --
a mi me parece perfectamente coherente. Además concuerda con el cálculo de Warchief. 8)
Lo que si me gustaría saber es de donde sale la formula Juan Mellado. ???
Se me ha olvidado comentarlo: como aquí veía que no había mucho acuerdo, he buscado un foro más centrado en matemáticas y he preguntado lo mismo ( http://foros.astroseti.org/viewtopic.php?t=5488&start=0&postdays=0&postorder=asc&highlight= )
Allí uno de ellos también llega al mismo resultado, así que tiene las de ganar ;)
Pues mira, nunca te acostarás sin conocer una postura más, digo, una cosa más :P . Yo criticaba el comentario del periodista porque no me parecía creíble y, ahora, lo critico por lo contrario, porque no es noticia que no acertasen ninguno, ya que es algo bastante probable.
Qué cosas Oo :)
Warchief, el tipo del foro de matematica y Mellado (al parecer) han seguido un metodo inductivo el cual no garantiza el resultado rigurozamente. Jajaj en realidad podemos estar seguros de que si pero de todas maneras aqui una solucion completa al problema.
Utilizando lo que Hechelion refresco de mi memoria, sumas de posibilidades menos la resta de sus intersecciones.
Probabilidad de que halla al menos una ficha ordenada:
1 - Suma de i = 2 a N de (1/N ) ^ i * C(N,i) * Cos(i*Pi);
Resultado obtenido 0.63833848653839309
Donde C es combinatoria del primer parametro combinados de a el segundo parametro sin importar el orden.
El cos como el de mellado es para variar el signo.
1 es la suma de las posibilidades individuales de cada ficha de caer en su posicion, 1/N es la posibilidad de que una ficha este ordenada, 1/N^i es la posibilidad de que i fichas esten ordenadas (excluyendo sus posibilidades) y C(N,i) es las combinaciones posibles de i cantidad de fichas que pueden estar ordenadas.
El codigo donde calcule el resultado para que no crean que miento :P
double P(double N)
{
double r = 1.0;
while(N>1) { r*=N; N--; }
return r;
}
double V(double N, double M)
{
return P(N) / P(N-M);
}
double C(double N, double M)
{
return V(N,M) / P(M);
}
double probabilidades_de_que_halla_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)
{
double r = 1.0, i = 2.0;
for( i=2; i<=N; ++i) r -= pow(1.0/N, i) * C(N, i) * cos( i * MathLib::Pi );
return r;
}
O sea que las posibilidades de que aleatoreamente ninguna ficha este ordenada son de un 36.166151346160691%
Saludos :P
Genial 8)
PS: si me pongo tiquismiquis: "double probabilidades_de_que_halla_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)" es "double probabilidades_de_que_haya_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)" >:D
Cita de: tewe76 en 28 de Marzo de 2009, 08:15:38 PM
Genial 8)
PS: si me pongo tiquismiquis: "double probabilidades_de_que_halla_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)" es "double probabilidades_de_que_haya_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)" >:D
Hombre, lo has malinterpretado el quiso decir:
double probabilidades_de_hallar_al_menos_una_ficha_ordenada
:P
PD: buena explicación Pogacha