Duda sobre probabilidad

[Juan Mellado]

a) 1 Ficha
   
   1

   P(ninguna en su sitio) = 0 / 1

b) 2 Fichas

   12   21*

   P(...) = 1 / 2

c) 3 Fichas
   
   123   132   213   231*  312*  321

   P (...) = 2 / 6


d) 4 Fichas

   1234   1243   1324   1342   1423   1432
   2134   2143*  2314   2341*  2413*  2431
   3124   3142*  3214   3241   3412*  3421*
   4123*  4132   4213   4231   4312*  4321*

   P (...) = 9 / 24

etc...

[Hechelion]

aunque exacto me encantaría ver tu método para 30 fichas  :D

PD 30 fichas se pueden ordenar de 30! maneras distintas o sea aproximadamente de 2.7 * 10 ^32

Aunque el razonamiento de pochaga es el más cercano tal como dice tiene un error, así que la probabilidad es mayor de 1/30.

[Warchief]

P 1 ] : 0    [0/1]
P 2 ] : 0.5    [1/2]
P 3 ] : 0.333333    [2/6]
P 4 ] : 0.375    [9/24]
P 5 ] : 0.366667    [44/120]
P 6 ] : 0.368056    [265/720]
P 7 ] : 0.367857    [1854/5040]
P 8 ] : 0.367882    [14833/40320]
P 9 ] : 0.367879    [133496/362880]
P 10 ] : 0.367879    [1334961/3628800]
P 11 ] : 0.367879    [14684570/39916800]
P 12 ] : 0.367879    [176214841/479001600]

Hasta aquí he llegado, que me he cansado de calcular.

[Hechelion]

con la excelente aproximación de Warchief queda acotado el resultado. Sólo agregar otro razonamiento que al igual que el método de Juan Mellado es correcto (o creo que lo es) pero en la practica para 30 fichas es inviable de hacerlo.

La probabilidad de que no tener ninguna ficha es el complemento  a tener a lo menos 1.

La probabilidad de tener a lo menos 1 ficha correcta en 2 espacios es:
P = P(que la ficha uno este en la casilla 1) + P(que la ficha dos este en la casilla2) - probabilidad de la intersección de ambas.

La probabilidad de tener a lo menos 1 ficha correcta en 3 espacios es
P = P1 + P2 + P3 - (P1 Inter P2) -(p1 inter P3) - (P2 inter P3) + (P1 inter P2 inter P3)

y así sucesivamente, imaginense el "chorizo" que queda al aplicarlo a 30 eventos.

esto se debe a que la probabilidad de tener la ficha 1 en la posición 1 no es mutuamente excluyente con la probabilidad de tener la ficha 2 en la posición 2 y al sumar ambas probabilidad se debe restar su intersección.

[synchrnzr]

29! / (30^30)

sync

Me inclino más por 29!/30!, ya que cada vez quedan menos fichas.

Es verdad, no contaba que cada vez queda una ficha menos :-[

Entonces hay que tener en cuenta las probabilidades condicionadas como sugieren HaversterOfAcorns, Juan Mellado y Hechelion. Lo que no sé si se puede llegar a escribir eso de una forma "elegante" ???

sync

[Juan Mellado]

P(n) = D(n) / n!

D(1) =     0

D(2) =     1 = (2 *    0) + 1 = (2 * D(1) ) + 1

D(3) =     2 = (3 *    1) - 1 = (3 * D(2) ) - 1

D(4) =     9 = (4 *    2) + 1 = (4 * D(3) ) + 1

D(5) =    44 = (5 *    9) - 1 = (5 * D(4) ) - 1

D(6) =   265 = (6 *   44) + 1 = (6 * D(5) ) + 1

D(7) =  1854 = (7 *  265) - 1 = (7 * D(6) ) - 1

D(8) = 14833 = (8 * 1854) + 1 = (8 * D(7) ) + 1

...

D(n) = (n * D(n - 1) ) + cos(n * PI), n > 1

#######

P(30) = 0.3678794411714424

[tewe76]

P(30) = 0.3678794411714424

¿Entiendo que la probabilidad es del 36%? Oo No parece coherente, ¿no? --

[Hechelion]

a mi me parece perfectamente coherente. Además concuerda con el cálculo de Warchief.  8)
Lo que si me gustaría saber es de donde sale la formula Juan Mellado. ???

[tewe76]

Se me ha olvidado comentarlo: como aquí veía que no había mucho acuerdo, he buscado un foro más centrado en matemáticas y he preguntado lo mismo ( http://foros.astroseti.org/viewtopic.php?t=5488&start=0&postdays=0&postorder=asc&highlight= )
Allí uno de ellos también llega al mismo resultado, así que tiene las de ganar ;)
Pues mira, nunca te acostarás sin conocer una postura más, digo, una cosa más :P . Yo criticaba el comentario del periodista porque no me parecía creíble y, ahora, lo critico por lo contrario, porque no es noticia que no acertasen ninguno, ya que es algo bastante probable.
Qué cosas Oo :)

[Pogacha]

Warchief, el tipo del foro de matematica y Mellado (al parecer) han seguido un metodo inductivo el cual no garantiza el resultado rigurozamente. Jajaj en realidad podemos estar seguros de que si pero de todas maneras aqui una solucion completa al problema.

Utilizando lo que Hechelion refresco de mi memoria, sumas de posibilidades menos la resta de sus intersecciones.

Probabilidad de que halla al menos una ficha ordenada:

1 - Suma de i = 2 a N de  (1/N ) ^ i * C(N,i) * Cos(i*Pi);

Resultado obtenido 0.63833848653839309
Donde C es combinatoria del primer parametro combinados de a el segundo parametro sin importar el orden.
El cos como el de mellado es para variar el signo.

1 es la suma de las posibilidades individuales de cada ficha de caer en su posicion, 1/N es la posibilidad de que una ficha este ordenada, 1/N^i es la posibilidad de que i fichas esten ordenadas (excluyendo sus posibilidades) y C(N,i) es las combinaciones posibles de i cantidad de fichas que pueden estar ordenadas.


El codigo donde calcule el resultado para que no crean que miento :P

Código [Seleccionar] Expand

double P(double N)
{
double r = 1.0;
while(N>1) { r*=N; N--; }
return r;
}

double V(double N, double M)
{
return P(N) / P(N-M);
}


double C(double N, double M)
{
return V(N,M) / P(M);
}

double probabilidades_de_que_halla_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)
{
double r = 1.0, i = 2.0;
for( i=2; i<=N; ++i) r -= pow(1.0/N, i) * C(N, i) * cos( i * MathLib::Pi );
return  r;
}

O sea que las posibilidades de que aleatoreamente ninguna ficha este ordenada son de un 36.166151346160691%
Saludos :P

[tewe76]

Genial 8)

PS: si me pongo tiquismiquis: "double probabilidades_de_que_halla_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)" es "double probabilidades_de_que_haya_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)" >:D

[Hechelion]

Genial 8)

PS: si me pongo tiquismiquis: "double probabilidades_de_que_halla_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)" es "double probabilidades_de_que_haya_al_menos_una_ficha_ordenada(double N)" >:D

Hombre, lo has malinterpretado el quiso decir:

double probabilidades_de_hallar_al_menos_una_ficha_ordenada
:P

PD: buena explicación Pogacha